ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ (x^2 + 1)^2 fr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ છે.$(x^2 + 1)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{

Vedclass · Accepted Answer

$1/16$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ છે.$(x^2 + 1)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ અને $Q(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx} = e^{\ln(x^2 + 1)} = x^2 + 1$.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y(x^2 + 1) = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot (x^2 + 1) dx + C = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx + C$.$y(x^2 + 1) = 	an^{-1}(x) + C$.$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0(0^2 + 1) = 	an^{-1}(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.તેથી,$y(x) = \frac{	an^{-1}(x)}{x^2 + 1}$.આપણને $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ આપેલ છે.$y(1) = \frac{	an^{-1}(1)}{1^2 + 1} = \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$.આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{a} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{32}$.$\sqrt{a} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.તેથી,$a = (1/4)^2 = 1/16$.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 0$ છે. જો $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1+\cos^2 x) f'(x) - f(x) \sin 2x = 4 \sin 2x$ નો ઉકેલ હોય અને $f(0)=0$ હોય, તો $f(\frac{\pi}{3})=$

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

જો $x y^{\prime}+y-e^x=0$ અને $y(a)=b$ હોય, તો $\lim _{x \rightarrow 1} y(x)$ શું થાય?

વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} - y \cos x = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module